Reprise d'emploi en milieu du mois et indemnisation des jours chômés

Bonjour,

Après la fin de mon cdd de 2 ans (1 oct 2022- 31 juillet 2024), j'ai été inscrite sur France travail à partir du 1er aout 2024. Or, J'ai signé un nouveau contrat en CDD, à partir du 14 octobre (contrat d'un an). J'ai fait mon actualisation sur la plateforme France travail récemment, le 1er novembre, indiquant que je ne suis plus à la recherche d'un emploi, et que je ne souhaite pas rester inscrite comme demandeur d'emploi. Or, j'ai été bien SANS EMPLOI entre le 1er et le 13 du mois d'octobre, et je souhaiterais perevoir les ARE correspondant à ces 13 jours chômés. J'ai adressé une question à mon référent "indemnisation" pour savoir si j'avais de démarches supplémentaires à faire pour percevoir mes ARE correspondant à ces 13 jours sans emploi, pendant lesquels j'étais évidemment inscrite à France travail. Elle me réponds: "vous vous êtes désinscrite et de ce fait, il n'y a pas de paiement. Pour votre information, le paiement des allocations se fait en fonction de votre Salaire Brut du mois en condition d'inscription et non en fonction du nombre de jours non travaillés". J'avais lu de nombreux témoignages sur ce forum à ce sujet, indiquant qu'il s'agit d'un refus habituel de la part de Pole emploi/France travail. Je ne souhaite pas percevoir un complément à mon salaire ni cumuler ARE et salaire, il s'agit juste de percevoir les allocations correspondant aux 13 jours sans emploi. Je comptais sur ces ARE lorsque j'ai accepté un contrat débutant en milieu du mois. Comment dois-je procéder pour contester cette réponse qui me semble être en tort ? Je vous remercie d'avance pour votre conseil. Cordialement.