Indemnisation chômage fonction publique hospitalière

Bonjour, J’étais en CDI dans la fonction publique hospitalière jusqu’à fin 2023. J’ai démissionné pour prendre un cdi dans le privé, qui après période d’essai est passé en cdd. Mon cdd prenant fin il y a un mois, je me suis inscrite à France travail. Ces derniers, après un mois, me notifient que je ne peux pas être indemnisé par eux, mais par mon employeur du public. Je les appelle donc, et on m’explique qu’il va falloir que je monte un dossier (sans me dire dans quel délai ils vont me l’envoyer) mais que comme ils sont entrain de clôturer les paies du mois de juillet, je ne serai indemnisé dans la meilleur des cas, que le 26 août. Ce qui représente pour mois 2 mois sans rien toucher. Ils ne veulent rien entendre. Je pensais qu’on avait le délai de carence de 7 jours (pas de congés dans mon cas) et qu’ils étaient obligés de procéder à l’indemnisation. Là je me retrouve à devoir attendre selon les calendrier de paie, alors que mon inscription a été faite le premier jour où j’ai cessé de travailler, Quelqu’un aurait des renseignements sur ce sujet? Sont ils en droit de me payer que fin août?