Erreur sur mon contrat de travail

 Je travaille depuis le 16/08/2021 dans une entreprise, après plus d'un mois de travail j'ai enfin mon contrat entre les mains sauf qu'il y a une erreur de salaire (inférieur à ce qui été convenu) et de rédaction de mon nom. Je n'ai donc pas signé ce contrat incorrect. Mon employeur a fait traîner les choses alors que je lui ai demandé plusieurs fois de faire les modifications. A ce jour il me dit ne pas pouvoir modifier le contrat et devoir faire un avenant. Sauf que c'est lui qui n'a pas fait les démarches avant et moi qui devrait signer le contrat initial pour ensuite signer l'avenant daté du 01/10/2021. Donc la modification du salaire sera effective qu'à cette date là ?
Je dois faire un crédit immobilier c'est pourquoi j'ai besoin que mon salaire soit celui convenu dès mon premier jour de travail et pas considéré comme une augmentation, puisque ce n'est pas le cas. Que dois je faire ? Je ne suis pas très rassuré de signer quelque chose qui ne me convient pas. Puis je lui réclamer encore de modifier le contrat initial ou est-ce trop tard pour les délais ? Je n'ai toujours rien signé, je suis tout de même bien déclaré. 
J'espère avoir été clair et que vous pourrez me renseigner sur mes Droits. Merci d'avance