Contrat de travail

 Je viens de commencer un cdd de 2 mois dès lors de ma première journée on me demande de réaliser des déplacements alors que l'employeur ma affirmé à l'entretien que mon poste devrait être seulement sur le lieu de l'entreprise.

Je n'ai toujours pas signé de contrat, j'ai seulement signé mes documents de mutuelle mais pas de contrat puis-je abandonné mon poste sans que cela ne soit prise en compte comme une mise à terme de la période d'essai à mon initiative et que je ne perde pas mes droit au chômage.
L'employeur peut il me poursuivre pour abandon de poste malgré la non signature du contrat de travail qui ne pas était remis ?

Je vous remercie d'avance pour votre réponse.