Je reçois un salaire sans avoir rien signé et j'ai déjà quitté mon job, que faire ?

 Il se trouve que je suis dans une situation assez perturbante. En effet, j'ai trouvé un emploi mis en place par le conseil départemental, qui est un cdd de 2 ans. Or, je n'ai pas reçu mon contrat de travail. Je n'ai eu aucune indication sur ma prise de poste etc, j'ai juste fait une sorte de "journée découverte" où on m'expliquait le fonctionnement général du métier et du département. 
On m'a dit que j'allais bientôt recevoir mon contrat et que je pourrais commencer bientôt, jusque là aucun gros problème. 
Cependant, je me suis finalement aperçu que ce n'est pas un travail qui me plairait, et que les conditions de travail étaient vraiment très gênantes, je vous passe les détails.. 
J'informe donc mon supérieur, par écrit que je "quittait " cet emploi (je n'ai pas reçu de contrat ni rien signé), il me répond 3 semaines plus tard..en me disant qu'il fallait que je signe mon contrat et que je fasse une lettre de démission. (Ils m'avaient en fait envoyé mon contrat sur ma boîte pro quelques jours plus tard pour que je vienne le signer (2h de route), mais je n'accédait plus à cette boîte étant donné que je ne travaillais plus ici. J'ai informé mon supérieur le 26 octobre, et j'ai quand même reçu un bulletin de paie de octobre, et de novembre, alors que je n'ai rien signé. Dois-je aller signer mon contrat et faire une lettre de démission comme ils me le demandent ? Où est-ce qu'ils font ça pour se couvrir ?
Merci beaucoup :)